Question

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

Answer

（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，
（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可．
【解析】
（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且，，，．
所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为．

解法二：根据题设可知，，
因此ξ的分布列为，k=0，1，2，3．
因为，所以．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，
由互斥事件的概率公式得．
解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A3B，A2B1为互斥事件，故有P（AB）=P（A3B∪A2B1）=P（A3B）+P（A2B1）．
由题设可知，事件A3与B独立，事件A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B）+P（A2B1）=P（A3）P（B）+P（A2）P（B1）=．