Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer

（1）由点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可解得Sn=n2+2n（n∈N*），再由通项与前n项和间的关系求得通项．
（2）用导数的几何意义，求得切线的斜率，再结合（1）求得．符合等差数列与等比数列相应项积的形式，用错位相减法求解．
（3）由“Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}”求得交集，再由“cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数”可求得c1=6．
最后由{cn}是公差是4的倍数求得c10=4m+6，则110＜c10＜115求解即可．
【解析】
（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n（n∈N*），
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1．
当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x2+2x求导可得f′（x）=2x+2
∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn，
∴kn=2n+2．
∴．
∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×（2n+1）×4n①
由①×4，得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×（2n+1）×4n+1②
①-②得：-3Tn=4[3×4+2×（42+43++4n）-（2n+1）×4n+1]=∴．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}，∴Q∩R=R．
又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，
∴c1=6．
∵{cn}是公差是4的倍数，
∴c10=4m+6（m∈N*）．
又∵110＜c10＜115，
∴，解得m=27．
所以c10=114，
设等差数列的公差为d，则，
∴cn=6+（n+1）×12=12n-6，所以{cn}的通项公式为cn=12n-6（14分）