Question

某学校高一年级开设了A，B，C，D，E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；
（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望．

Answer

（Ⅰ）每个学生选修一门课程，有5种选法，由分步乘法原理即可求解．
（Ⅱ）“甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程”的对立事件为“三名学生选择三门不同选修课程”，利用对立事件的概率关系求解．
（Ⅲ）X的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可．
【解析】
（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，
故共有5×5×5=125（种）．
（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：．
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：．
（Ⅲ）由题意：X=0，1，2，3
.；
；
；
．
ξ的分布列为

数学期望=．