Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D，D₁，G分别为AB，A₁B₁，A₁C₁的中点，E、F在BB₁上，且BB₁=4BE=4B₁F．
（1）求证：DG∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：平面DEG⊥平面C₁D₁F．

Answer

（1）由题意取B1C1的中点H，连接GH、BH，只要证明四边形BDGH为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）已知三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，D1分别为A1B1的中点，取BB1的中点为P，连接AP、A1P，则AP∥DE，A1P∥D1F，在等腰直角△ABP和△A1B1P中，可证AP⊥A1P，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
证明：（1）如图，取B1C1的中点H，连接GH、BH，
∵D，G分别为AB，A1C1的中点，
∴GH∥A1B1，，，
又三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，则BD∥GH，BD=GH，
故四边形BDGH为平行四边形，
∴DG∥BH，（4分）
又DG⊄平面BCC1B1，BH⊂平面BCC1B1，
∴DG∥平面BCC1B1；（6分）
（2）由三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，D1分别为A1B1的中点，
∴C1D1⊥平面ABB1A1，又DE⊂平面ABB1A1，
∴C1D1⊥DE，（8分）
取BB1的中点为P，连接AP、A1P，则AP∥DE，A1P∥D1F，
设AB=a，由AA1=2AB，BB1=4BE=4B1F，
在等腰直角△ABP和△A1B1P中，，，
又AA1=2a，故AA12=AP2+A1P2，则AP⊥A1P，
∴在平面ABB1A1内，DE⊥D1F，（11分）
又C1D1∩D1F=D1，C1D1⊂平面C1D1F，FD1⊂平面C1D1F，
∴DE⊥平面C1D1F，又DE⊂平面DEG，
∴平面DEG⊥平面C1D1F．（14分）