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高中数学试题
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如图,已知圆O:x2+y2=1,O为坐标原点. (1)边长为的正方形ABCD的顶...
如图,已知圆O:x
2
+y
2
=1,O为坐标原点.
(1)边长为
的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上,C、D在圆O外,当点A在圆O上运动时,C点的轨迹为E.
①求轨迹E的方程;
②过轨迹E上一定点P(x
,y
)作相互垂直的两条直线l
1
,l
2
,并且使它们分别与圆O、轨迹E相交,设l
1
被圆O截得的弦长为a,设l
2
被轨迹E截得的弦长为b,求a+b的最大值.
(2)正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,求线段OC长度的最值.
(1)①由题意知OA2+OB2=AB2,,,在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5.由此可知轨迹E的方程;②设点O到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,因为l1⊥l2,所以d12+d22=OP2=x2+y2=5,由此可知≤4=4[12-2(d12+d22)]=4(12-10)=8,即a+b的最大值. (2)设正方形边长为a,∠OBA=θ,则,.当A、B、C、D按顺时针方向时,如图所示,在△OBC中,,由,此时;当A、B、C、D按逆时针方向时,在△OBC中,,.由此可知,线段OC长度的最小值为,最大值为. 【解析】 (1)①如图连接OB,OA,因为OA=OB=1,AB=,所以OA2+OB2=AB2, 所以,所以,在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5,(2分) 所以轨迹E是以O为圆心,为半径的圆, 所以轨迹E的方程为x2+y2=5;(3分) ②设点O到直线l1,l2的距离分别为d1,d2, 因为l1⊥l2,所以d12+d22=OP2=x2+y2=5,(5分) 则, 则 ≤4=4[12-2(d12+d22)]=4(12-10)=8,(8分) 当且仅当,即时取“=”, 所以a+b的最大值为;(9分) (2)设正方形边长为a,∠OBA=θ,则,. 当A、B、C、D按顺时针方向时,如图所示,在△OBC中,, 即==, 由,此时;(12分) 当A、B、C、D按逆时针方向时,在△OBC中,, 即==, 由,此时,(15分) 综上所述,线段OC长度的最小值为,最大值为.(16分)
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考点分析:
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n
}的公差为d,d>0,数列{b
n
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1
=a
1
>0.
(1)若a
3
=b
3
,a
7
=b
5
,探究使得a
n
=b
m
成立时n与m的关系;
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2
=b
2
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<b
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.
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.
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的值;
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1
B
1
C
1
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1
=2AB,D,D
1
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1
B
1
,A
1
C
1
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1
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1
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1
F.
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1
B
1
;
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1
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2
+2)e
x
,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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