Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则即-2≤a≤2，则a范围．
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，由此可证出实数t的取值范围为．
【解析】
（1）
由f（x）在R上是增函数，则即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2；（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）
而当x∈[1，2]时，，为增函数，；
当x∈[1，2]时，，为增函数，，
所以；（10分）
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）
则当a∈（2，4]时，由得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x对称轴，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x对称轴，
则f（x）在为增函数，此时f（x）的值域为，f（x）在为减函数，此时f（x）的值域为；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，
即存在a∈（2，4]，使得即可，令，
只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，
故实数t的取值范围为；（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为；
综上所述，实数t的取值范围为．（16分）