Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer

以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由，且建立两等式关系，求出x、y、z，设直线CD和平面ODM所成角为θ，利用sinθ=|cos＜，＞|进行求解．
【解析】
∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
则O（2，0，2），M（2，2，0），，，，
设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由
且可得
令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，则，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为．