设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，...

设椭圆E：

，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且 manfen5.com 满分网

？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

（1）把点M和N代入椭圆的标准方程，可求得a和b，进而可得椭圆E的方程．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，直线和椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k和m的不等式关系，再根据使，需使x1x2+y1y2=0，分别用k和m分别表示出x1x2和y1y2进而可求得k和m的关系，代入k和m的不等式关系中求得m的范围，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，求得半径，圆的方程可得．此时圆的切线y=kx+m都满足，进而判定存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．最后用k表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围．【解析】（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2-8k2-8=0，所以又8k2-m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．因为，所以，=， ①当k≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”． 2当k=0时，

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考点分析：

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．

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