Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点，F为AB的中点．证明：
（1）EE₁∥平面FCC₁．
（2）平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer

（1）法一：由EE1∥A1D⇒EE1∥F1C⇒EE1∥平面FCC1．即用利用线线平行来推线面平行．
法二：由平面ADD1A1∥平面FCC1⇒EE1∥平面FCC1．即用利用面面平行来推线面平行．
（2）先证AC⊥BC，又由AC⊥CC1⇒AC⊥平面BB1C1C⇒平面D1AC⊥平面BB1C1C．即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直．
证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，
连接FF1，C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1，
因为 平面FCC1即为平面C1CFF1，
连接A1D，F1C，
由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．
所以 四边形A1DCF1为平行四边形，
因为 A1D∥F1C．
又 EE1∥A1D，
得EE1∥F1C，
而 EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
故 EE1∥平面FCC1．

证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，
所以CDAF，
因此 四边形AFCD为平行四边形，
所以 AD∥FC．
又 CC1∥DD1，FC∩CC1=C，
FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC
所以 平面ADD1A1∥平面FCC1，
又 EE1⊂平面ADD1A1，
所以 EE1∥平面FCC1．

（ 2）证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，
又 F为AB的中点，
所以 AF=FC=FB，
因此∠ACB=90°，
即 AC⊥BC．
又 AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，
所以 AC⊥平面BB1C1C，
而 AC⊂平面D1AC，
故 平面D1AC⊥平面BB1C1C．