Question

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；
（Ⅱ）求二面角O-AC-O₁的大小．

Answer

本题可用两种方法来解答：
（解法一）（I）利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，求•=0来证明垂直；
（II）求平面OAC和平面O1AC的法向量，再求二面角O-AC-O1的平面角的余弦值．
（解法二）（I）由题意知证出AO⊥平面OBCO1，再由给出的长度求出OC⊥BO1，由三垂线定理AC⊥BO1；
（II）由（I）证出BO1⊥平面AOC，利用其垂直关系作出二面角O-AC-O1的平面角，在直角
三角形中解．
【解析】
解法一（I）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．
故可以O为原点，OA、OB、OO1，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）
O1（0，0，）．
∴=（-3，1，），=（0，-3，），•=-3+•=0．
∴AC⊥BO1．

（II）【解析】
∵•=-3+•=0，∴BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．
设=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，
由⇒，取z=，得=（1，0，）．
设二面角O-AC-O1的大小为θ，由、的方向知，
cosθ=cos＜，＞==
即二面角O-AC-O1的大小是arccos．

解法二（I）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB．则AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影．
∵tan∠OO1B==，tan∠O1OC==，
∴∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，则OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1．

（II）【解析】
由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC．
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连接O1F（如图4），
则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC．
∴∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角．
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
∴O1A==2，AC==，
∴O1F==，又O1E=OO1•sin30°=，
∴sin∠O1FE==即二面角O-AC-O1的大小是arcsin．