Question

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围．

Answer

（I）根据函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），以及f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，建立方程组，即可用t表示a，b，c；
（II）先利用导数求出y=f（x）-g（x）的单调减区间，然后使（-1，3）是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出t的范围．
【解析】
（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，
即t3+at=0．因为t≠0，所以a=-t2．g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）=g'（t）．
而f'（x）=3x2+a，g'（x）=2bx，所以3t2+a=2bt．
将a=-t2代入上式得b=t．因此c=ab=-t3．故a=-t2，b=t，c=-t3．
（II）y=f（x）-g（x）=x3-t2x-tx2+t3，y'=3x2-2tx-t2=（3x+t）（x-t）．
当y'=（3x+t）（x-t）＜0时，函数y=f（x）-g（x）单调递减．
由y'＜0，若t＞0，则-＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜-．
由题意，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，则（-1，3）⊂（-，t）或（-1，3）⊂（t，-）．
所以t≥3或-≥3．即t≤-9或t≥3．
又当-9＜t＜3时，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减．
所以t的取值范围为（-∞，-9]∪[3，+∞）．