Question

已知f（x）=kxlnx，g（x）=-x²+ax-（k+1）（k＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（Ⅰ）利用导数求单调性，比较给的区间与单调区间的关系求出最值，
（Ⅱ）分离参数，不等式恒成立转化成函数最值，
（Ⅲ）通过构造函数，利用第一问的结论求出最值证出不等式
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=k（lnx+1），
当，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
①，t无解；
②，即时，；
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=ktlnt；
所以．
（Ⅱ）kxlnx≥-x2+ax-（k+1），则，
设，则，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min=h（1）=k+2，因为对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=k+2；
（Ⅲ）问题等价于证明，由（1）可知，f（x）=kxlnx（x∈（0，+∞））（k＞0）的最小值是，当且仅当时取到，故．
设，则，易得，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．①