Question

已知函数f（x）=（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为b_n，数列{a_n}满足：a₁=N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求λ的取值范围；
（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）²，数列{c_n}满足：c₁=，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．

Answer

（Ⅰ）由．和，可得到最后由等差数列的定义求解即可．
（Ⅱ）通过求导得到切线的斜率，从而求得切线的方程，，令x=0，可得．化简由二次函数法求解即可．
（Ⅲ）结合（I）得g（x）=f（x）（1+x）2=x（1+x），所以cn+1=g（cn）=cn（1+cn），两边取倒数可得．再由错位相消法化简问题论证即可．
【解析】
（Ⅰ）∵．则，得，即，
∴数列是以2为首项、1为公差的等差数列，
故．（4分）
（Ⅱ）又∵，
∴函数f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线方程为：，
令x=0，得．
∴，仅当n=5时取得最小值，
只需，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范围为（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）2=x（1+x），故cn+1=g（cn）=cn（1+cn），
又∵，故cn＞0，则，
即．（11分）
∴
=．
又=，
故．（14分）