Question

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，”可得到即，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得得到函数的解析式．
（Ⅱ）先求导数f'（x）=3x+1，则即，两边取倒数，有由等差数列定义求解．
（Ⅲ）化简得Sn•cos（bnπ）=（-1）n•Sn∴以有Tn=-S1+S2-S3+S4-+（-1）nSn．再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可．
【解析】
（Ⅰ）依题意，（a＞0），
即
令，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即，得．
∴．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则
即，两边取倒数，得，即bn+1=3+bn．
∴数列bn是首项为，公差为3的等差数列．
∴bn=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（bnπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）n
∴Sn•cos（bnπ）=（-1）n•Sn∴Tn=-S1+S2-S3+S4-+（-1）nSn．
（1）当n为偶数时Tn=（S2-S1）+（S4-S3）++（Sn-Sn-1）=b2+b4++bn
=
（2）当n为奇数时=
综上，（13分）