Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．
（1）求向量的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．

Answer

（1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标．
（2）要求圆关于直线的对称圆，只要求出圆心关于直线的对称点即可，本题需要先根据向量的坐标求出点B的坐标，从而求出直线的方程，通过计算得到结果．
（3）设出抛物线上关于直线的对称的两个点，两个点的中点在直线上且两点连线与已知直线垂直，写出所设的点的关系，构造一元二次方程，根据方程有解用判别式得到结果．
【解析】
（1）设，
则由||=2||，=0
即
得，或．
∵，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴={6，8}；
（2）由={10，5}，得B（10，5），
于是直线OB方程：．
由条件可知圆的标准方程为：（x-3）2+y（y+1）2=10，
得圆心（3，-1），半径为．
设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y）
则，
得，
∴所求圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=10；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称两点，
则，
得
即x1，x2为方程的两个相异实根，
于是由，
得．
∴当时，抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点．