Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}，k∈N₊，且满足f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上值域为．若存在，求出此q值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2-k）（1+k）＞0，解出k即可．
（2）写出g（x）的解析式g（x）=-qx2+（2q-1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．
【解析】
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0
解得-1＜k＜2
又k∈N+∴k=1
分别代入原函数得f（x）=x2
（2）由（1）知g（x）=-qx2+（2q-1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得
又g（2）=-1≠-4，从而必有g（-1）=2-3q=-4
解得q=2
此时，g（x）=-2x2+3x+1，其对称轴
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为符合题意．