Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

（1）证明BC⊥AC，BC⊥CC1，AC、CC1是平面ACC1A1内的两条相交直线，即可证明BC⊥平面ACC1A1，从而证明BC⊥AC1；
（2）D是AB的中点，连接BC1交B1C于M，连接DM，证明DM∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．
证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=，
∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC1，AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵AC1⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥AC1．

（2）连接BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，
连接DM，则DM∥AC1，
∵DM⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．