Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前n项和T_n

Answer

（1）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1，进而得出an和an-1的关系整理得，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据bn=f（bn-1）整理可得进而推知数列{bn}为等差数列，首项为2a1，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的bn代入，再通过错位相减法求得Tn
【解析】
（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）-ma1，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=man-1-man．
即（1+m）an=man-1．
∵m为常数，且m＞0，∴（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）【解析】
由（1）得，q=f（m）=，b1=2a1=2．
∵，
∴，即（n≥2）．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，即（n∈N*）．
（3）【解析】
由（2）知，则．
所以，
即Tn=21×1+22×3+23×5++2n-1×（2n-3）+2n×（2n-1），①
则2Tn=22×1+23×3+24×5++2n×（2n-3）+2n+1×（2n-1），②
②-①得Tn=2n+1×（2n-1）-2-23-24--2n+1，
故．