Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系．
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当n∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围；
（3）在-3≤m＜1时，证明．

Answer

（1）利用数列的递推关系找寻数列相邻项之间的关系是解决本题的关键，注意因式分解和整体思想的运用，转化为特殊数列求出通项公式；
（2）将该不等式进行等价转化，利用分离变量思想转化为函数恒成立问题，从而求出m的取值范围；
（3）将每一项进行适当放缩转化是解决该问题的关键，通过放缩转化化为特殊数列进行求和并证明．
【解析】
（1）m=1，由，
得：=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是an+1=2•2n-1，∴an=2n-1．
（2）由an+1≥an．而a1=1，知an＞0，∴≥an，即m≥-an2-2an
依题意，有m≥-（an+1）2+1恒成立．∵an≥1，∴m≥-22+1=-3，即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．
（3）-3≤m＜1时，由（2）知an+1≥an，且an＞0．
设数列，则，
∵m＜1，即m-1＜0，
故，
∴
∴
=．
即在-3≤m＜1时，有成立．