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高中数学试题
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已知数列{an}(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列. (1)求和:a...
已知数列{a
n
}(n为正整数)是首项是a
1
,公比为q的等比数列.
(1)求和:a
1
C
2
-a
2
C
2
1
+a
3
C
2
2
,a
1
C
3
-a
2
C
3
1
+a
3
C
3
2
-a
4
C
3
3
;
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
(1)利用等比数列的通项公式求出数列的前4项,据组合数公式求出各个组合数,代入两个代数式求出值. (2)归纳猜测出一般结论,利用等比数列的通项公式将各项用首项和公比表示,提出公因式公比,逆用二项式定理的展开式, 化简代数式得证. 【解析】 (1)a1C2-a2C21+a3C22 =a1-2a1q+a1q2 =a1(1-q)2 a1C3-a2C31+a3C32-a4C33 =a1-3a1q+3a1q2-a1q3 =a1(1-q)3; (2)归纳概括的结论为: 若数列{an}是首项为a1, 公比为q的等比数列, 则a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+(-1)nan+1Cnn=a1(1-q)n, n为正整数. 证明:a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+(-1)nan+1Cnn =a1Cn-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+…+(-1)na1qnCnn =a1[Cn-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+…+(-1)nqnCnn] =a1(1-q)n.
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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