Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

Answer

（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．
（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知
f（x）=ax∈M．
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．
【解析】
（1）对于非零常数T，
f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∉M；
（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x，
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，
则k=2mπ，m∈Z．
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．