Question

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer

（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，要证AF∥平面BDE，只需证明AF平行平面BDE内的直线GD即可；
（Ⅱ）F为BC的中点，要证平面BDE⊥平面BCE，只需证明平面BDE内的直线GD垂直平面BCE即可．
证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，
∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，（2分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC
∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，（4分）
∵，
∴CE=2，（6分）
作BE的中点G，连接GF，GD，
∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，，（8分）
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE．（10分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，（12分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，
又GD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．（14分）