Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．

Answer

法一：（Ⅰ）要证PO⊥底面ABCD，只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可；
（Ⅱ）过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，说明∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角，
解三角形求二面角P-AD-B的大小．
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM，然后求解即可得到
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
法二：以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，平面ABCD的法向量为
然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
（Ⅲ）求出相关向量，通过求得
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
解法一：（Ⅰ）证明：∵PB=PC=BC，O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，由三垂线定理知PE⊥AD
∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，O为BC中点
∴，，
由等面积法知
∴
∴∠PEO=，即二面角P-AD-B的大小为（或或）

（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC，且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN⊂平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BMÌ平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB=AB=2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD，直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM=45°

解法二：（Ⅰ）同解法一；
如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

（Ⅱ）∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为
∵A（1，2，0），D（-1，1，0），
∴，
设平面PAD的法向量为，
由得到，
令x1=1，则y1=-2，，即
∴cos＜，＞=
∴二面角P-AD-B的大小为（或或）

（Ⅲ）∵B（1，0，0）
∴
由（Ⅱ）知平面PAD的法向量为
则，即
所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°