Question

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求T^（2）的前2007项之和；
（3）（理）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表达式，并求出S_n取最大值时n的值．
②求正整数m（m＞1），使得存在且不等于零．
（文）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表达式，并求正整数m（m＞1），使得存在且不等于零．

Answer

（1）依题意，利用等比数列前n项和公式可以出一个方程组，解这个方程组，得到数列{an}的首项a1和公比q．
（2）由，知数列T（2）的首项为t1=a2=2，公差d=2a2-1=3，由此能求出T（2）的前2007项之和．
（3）（理）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=；①；由此计算得，所以Sn当n=5时取最大值．②=，由此分类讨论进行求解．
（文）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=；；=，由此分类讨论进行求解．
【解析】
（1）依题意可知，．
（2）由（1）知，，所以数列T（2）的首项为t1=a2=2，公差d=2a2-1=3，，即数列的前2007项之和为6043077．
（3）（理）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=；
①；
由，解得n=2，
计算可得，
因为当n≥2时，bn＞bn+1，所以Sn当n=5时取最大值．
②=，
当m=2时，=-，当m＞2时，=0，所以m=2．

（文）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=；；=，
当m=2时，=-，当m＞2时，=0，所以m=2．