Question

已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的函数．设f （x）=x²+x、g（x）=x+2，若h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个偶函数，且h（1）=3，则函数h （x）=    ．

Answer

首先依题意求出函数h（x）的解析式，根据函数为偶函数，即h（x）=h（-x），求出m、n的关系式．同时根据h（1）=3，求出另一个m，n的关系式．进而求出m，n的值．代入解析式即可．
【解析】
依题意h（x）=m f（x）+ng（x）=m（x2+x）+n（x+2）=mx2+mx+nx+2n
又h （x）为偶函数
则有h（x）=h（-x），即mx2+mx+nx+2n=mx2-mx-nx+2n
得出m+n=0
又h（1）=m+m+n+2n=3，即2m+3n=3
则有，解得m=-3，n=3
所以h（x）=mx2+mx+nx+2n=-3x2-3x+3x+6=-3x2+6
故答案为：-3x2+6