Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意知（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，即，由此可知．
（Ⅱ）由题意得a1-2=-1，再由，知{an-2}是首项为-1，公比为的等比数列．
（Ⅲ）由题意知，所以，设存在整数λ，使不等式对任意的n∈N*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1．由此可知存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，且λ的最大值为1．
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，
即，（2分）∵a1=1，∴；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵，∴{an-2}是首项为-1，公比为的等比数列；（8分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）得，∴，∵{an+Sn}是首项为a1+S1=2，公差为2的等差数列，∴an+Sn=2+（n-1）×2=2n，∴，（9分）
设存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，
即存在整数λ，使不等式对任意的n∈N*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立．
当n=2时，不等式化简为，成立；
当n≥3时，∵，∴（Sn-n+1）＞an成立．
综上，知存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，且λ的最大值为1．（14分）