Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，且∠A₁AB=∠A₁AC，点A₁到底面ABC的距离等于点A₁到侧面B₁BCC₁的距离的2倍，则=    ．

Answer

作A1D⊥底面ABC于D，A1E⊥侧面B1BCC1于E，根据∠A1AB=∠A1AC可知D在∠BAC的平分线上，根据△ABC是正三角形，进而可知AD⊥BC，又A1D⊥底面ABC，进而可知AA1⊥BC，进而根据AA1∥BB1，推断BB1⊥BC，分别以三角形为底，A1D为高和面B1BCC1为底A1E为高求得三棱柱的体积建立等式求得，进而求得答案．
【解析】
作A1D⊥底面ABC于D，A1E⊥侧面B1BCC1于E，
∵∠A1AB=∠A1AC
∴D在∠BAC的平分线上，
又∵△ABC是正三角形，
∴AD⊥BC，又A1D⊥底面ABC，
∴AA1⊥BC，又AA1∥BB1，BB1⊥BC，
由题意得V=S△ABC•A1D=BC2•2A1E=S矩形B1BCC1•A1E=BC•BB1•A1EA
∴=
故答案为