Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是射线上（非端点）任意一点，由点P向椭圆C引两条切线PQ、PT（Q、T为切点），求证：直线QT的斜率为常数．

Answer

（1）先设出椭圆方程，再把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点的坐标代入，即可求出椭圆C的方程；
（2）先设出过点Q切线方程为y-y1=k（x-x1），联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆相切，求出k=-进而求出切线方程，再利用P（t，t）（t＞）在直线PQ上，找到点Q（x1，y1）所在直线方程，同样的方法，找到点T（x2，y2）也在直线tx+4ty-4=0上，就可求出直线QT的斜率为常数的值．
【解析】
（1）设椭圆C的方程为mx2+ny2=1，
把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点坐标代入解得，
故所求方程为.+y2=1．
（2）设点Q（x1，y1），T（x2，y2），设以Q为切点的椭圆的切线方程为y-y1=k（x-x1），
联立化简为关于（x-x1）的一元二次方程，
得（1+4k2）（x-x1）2+2（x1+4ky1）（x-x1）+x12+4y12-4=0，
①若y1≠0，因为直线与椭圆相切，所以△=4（x1+4ky1）2-4×（1+4k2）×0=0，k=-
所以切线方程为y-y1=-（x-x1）．即直线的方程为x1x+4y1y-4=0．
又P（t，t）（t＞）在直线PQ上，所以tx1+4ty1-4=0
即点Q（x1，y1）在直线tx+4ty-4=0上．同理，点T（x2，y2）也在直线tx+4ty-4=0上，
所以直线QT的方程为tx+4ty-4=0，
所以kQT=-（常数）．
②若y1=0，容易求得T（-，），Q（2，0）所以kQT=-（常数）
综上得，直线QT的斜率为常数-．