Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并确定f（1）是函数的极大值还是极小值；
（2）若对于任意x∈[0，2]的时，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范围．

Answer

（1）先对函数进行求导，然后根据f（1）=4，f'（1）=0求出a，b的值，然后根据函数的单调性判断f（1）是极小值．
（2）先将（1）中结果代入，然后将问题转化为求函数g（x）=x3+3x2-9x在[0，2]上的最小值的问题，进而可解．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+a2∴f'（x）=3x2+2ax+b
由题意可知：f（1）=1+a+b+a2=4，f'（1）=3+2a+b=0
解得：或
∵|a|＜|b|∴
当a=3，b=-9时，f'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1）
当x＞1或x＜-3时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增
当-3＜x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）单调递减
∴f（1）是函数的极小值
（2）由题意可知，x3+3x2-9x＞c2+6c对于任意x∈[0，2]恒成立
令g（x）=x3+3x2-9x，则g'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1）
∴当x＞1或x＜-3时g'（x）＞0，函数g（x）单调递增
当-3＜x＜1时g'（x）＜0，函数g（x）单调递减
∴x=1时函数g（x）取到最小值g（1）=-5
∴只要-5＞c2+6c即可
-5＜c＜-1