Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设出三角形的重心，A，B的坐标，利用三角形重心的性质表示出x和y，利用OA⊥OB推断出kOA•kOB=-1求得x1x2+y1y2=-1把A，B代入抛物线求得x1x2的值，进而求得y和x的关系式即G的轨迹方程．
（II）利用两点间的距离公式分别表示出|OA|和|OB|代入三角形面积公式，利用基本不等式和x1x2的值求得三角形面积的最小值．
【解析】
（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
则（1）
∵OA⊥OB∴kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，（2）
又点A，B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22，代入（2）化简得x1x2=-1
∴Y==（x12+x22）=[（x1+x2）2-2x1x2]=×（3x）2+=3x2+．
所以重心为G的轨迹方程为y═3x2+．
（II）S△AOB=|OA||OB|==
由（I）得S△AOB=≥=×2=1
当且仅当x12=x22即|x1|=|x2|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1．