Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

Answer

（I）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程．
（II）同（I）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！
【解析】
（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．
（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG•k=-1，k=-1⇒a=-k．
故G点坐标为G（-k，1）（-2≤k＜0）．
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-，）．
折痕所在的直线方程y-=k（x+），即y=kx++（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，y=；k≠0时y=kx++（-2≤k＜0）．

（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；
（2）当k≠0时，①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，），P（2，2k+）．

这时，-2+＜k＜0，y=PN2=4+4k2=4（1+k2）∈（4，16（2-））
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，），P（-，0）．

这时，-1≤k≤-2+，y=+=．
y′==
令y′=0解得k=-，
∵y=|k=-1=2，y==，y=16（2-），
∴y∈[，16（2-）]
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（，1），P（-，0）．

这时，-2≤k＜-1，y=PN2=+1∈[，2）．
综上述，ymax=16（2-）
所以折痕的长度的最大值=2（-）（≈2.07）．