Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer

（1）可以先由平面ABCD⊥平面ABEF以及CB⊥AB证得CB⊥平面ABEF，⇒AF⊥CB．又因为AB为圆O的直径⇒AF⊥BF，就可证：AF⊥平面CBF；
（2）取DF的中点为N，利用MNAO⇒MNAO为平行四边形⇒OM∥AN即可．既用线线平行来证线面平行．
（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比．
【解析】
（1）证明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
得CB⊥平面ABEF，
而AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB（2分）
又因为AB为圆O的直径，
所以AF⊥BF，（3分）
又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分）
（2）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN
则MNCD，又AOCD
则MNAO，所以四边形MNAO为平行四边形，（6分）
所以OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，
所以OM∥平面DAF．（8分）
（3）过点F作FG⊥AB于G，因为平面ABCD⊥平面ABEF，
所以FG⊥平面ABCD，所以（9分）
因为CB⊥平面ABEF，
所以（11分）
所以VF-ABCD：VF-CBE=4：1．（12分）