Question

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．
（1）证明：OM•OP=OA²；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90°．

Answer

（1）在三角形OAM中考虑，因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM，从而由射影定理即得；
（2）结合（1）问的结论，利用比例线段证明两个三角形△ONP、△OMK相似，通过对应角相等即可得．
证明：（1）因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA2=OM•OP，
故OM•OP=OA2得证．

（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：
OB2=ON•OK，又OB=OA，
所以OM•OP=ON•OK，即，又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°．
即有：∠OKM=90°．