Question

已知椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且椭圆过点P（，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点M（-1，1）交椭圆于A、B两点，且，求直线l的方程．

Answer

（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）．由题设知椭圆焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1），c=1，再由椭圆过点，能求出a2=4，b2=3，从而能够得到椭圆方程．
（2）若直线l的斜率k不存在，即l⊥x轴，由椭圆的对称性知，则不满足．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=-=k（x+1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则3y12+4x12=12①3y22+4x22=12，再由中点坐标公式结合题设条件可求出直线l的方程．
【解析】
（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）．（1分）
∵双曲线的焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1）
∴椭圆焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1）（2分）
∴c=1，即a2-b2=1①（3分）
又椭圆过点，∴②（4分）
由①②得a2=4，b2=3，（6分）
∴所求椭圆方程为．（7分）
（2）若直线l的斜率k不存在，即l⊥x轴，

由椭圆的对称性知，则不满足．（1分）
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=-=k（x+1）．（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则3y12+4x12=12①3y22+4x22=12②（3分）
由知M为AB的中点
∴x1+x2=-2，y1+y2=2（4分）
①-②得3（y1+y2）（y1-y2）+4（x1+x2）（x1-x2）=0
∴，（5分）
∴直线l的方程为：，即4x-3y+7=0．（7分）