Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求数列x_n的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列y_n的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．

Answer

（1）由框图，知数列xn中，x1=1，xn+1=xn+2，由此能导出xn．
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80．由此，猜想yn=3n-1（n∈N*，n≤2008）．然后构造成等比数列进行证明．
（3）zn=x1y1+x2y2++xnyn=1×（3-1）+3×（32-1）+5×（33-1）++（2n-1）×（3n-1）=1×3+3×32+5×33++（2n-1）×3n-（1+3+5++2n-1）然后用错位相减法进行求解．
【解析】
（1）由框图，知数列xn中，x1=1，xn+1=xn+2
∴xn=1+2（n-1）=2n-1（n∈N*，n≤2008）（4分）
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80
由此，猜想yn=3n-1（n∈N*，n≤2008）．
证明：由框图，知数列yn中，yn+1=3yn+2，
∴yn+1+1=3（yn+1）
∴
∴数列yn+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴yn+1=3n，
∴yn=3n-1（n∈N*，n≤2008）；（9分）
（3）zn=x1y1+x2y2++xnyn=1×（3-1）+3×（32-1）+5×（33-1）++（2n-1）×（3n-1）
=1×3+3×32+5×33++（2n-1）×3n-（1+3+5++2n-1）
记Sn=1×3+3×32+5×33++（2n-1）×3n①
则3Sn=1×32+3×33+5×34++（2n-1）×3n+1②
①-②，得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34++2×3n-（2n-1）×3n+1
∴Sn=（n-1）•3n+1+3，
又1+3+5++2n-1=n2
∴zn=（n-1）•3n+1+3-n2（n∈N*，n≤2008）．（14分）