Question

已知p（x，y）在直线l：x-y-1=0运动，当函数z=2取得最大值时，P点的坐标为     ．

Answer

由点在直线上设出点p的坐标为（a，a-1）代入z=2得z-2=利用a∈R，方程一定有解，设b=，则5b2-4zb+z2-5=0将其转化为关于b的二次函数，再由b有解，利用△≥0得到关于z的不等式，从中解出z的取值范围，最大值可得，将z值代入z2+4a-4z=5-a求可求得点p的坐标．
【解析】
P（x，y）在直线l：x-y-1=0运动，所以可以设p点为（a，a-1）
将P点代入函数z=2+=2+
∴z-2=
z2+4a-4z=5-a
z2+5a-4z-5=0
设b=，则5b2-4zb+z2-5=0
判别式=16z2-20（z2-5）=100-4z2≥0
解得-5≤z≤5
所以z最大为5，将z=5代入原方程得：5b2-20b+20=0得b=2
因为=b，所以a=4
因此z取最大值5的时候P点坐标为（4，3）
故答案为  （4，3）