Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer

（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量an，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+）n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入bn．
（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由bn-an＞0，解得n的取值范围即可．
【解析】
（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-）万元，，第n年投入为800×（1-）n-1万元．
所以，n年内的总投入为
an=800+800×（1-）++800×（1-）n-1=
=4000×[1-（）n]；（3分）
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，
第n年旅游业收入为400×（1+）n-1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×（1+）+…+400×（1+）n-1=
=1600×[（）n-1]．（6分）
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
bn-an＞0，
即1600×[（）n-1]-4000×[1-（）n]＞0．
化简得5×（）n+2×（）n-7＞0，（9分）
设x=（）n，代入上式得
5x2-7x+2＞0，
解此不等式，得，x＞1（舍去）．
即（）n＜，
由此得n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）