Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（Ⅱ）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围，可得到两根之和、两根之积，设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，化简k1+k2 的结果等于0，即说明MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．
【解析】
（1）设椭圆方程为，因为，所以a2=4b2，又椭圆过点M（4，1），所以，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为（5分）
（2）将y=x+m代入=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，△=（8m）2-20（4m2-20）＞0得：5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，只要证k1+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则

分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）

因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）