Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=3，AC=，求AB的长．

Answer

（1）连接OC；根据切线的性质知：OC⊥CD；因此只需证OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC=∠OCA，等量代换后可得出OC、AD的内错角相等，由此得证．
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB的长求出．
证明：（1）连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴OC∥AD．
∴AD⊥CD．
【解析】
（2）连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC．
∴△ADC∽△ACB．
∴=．
∴AB===5．