Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer

（1）设出椭圆的标准方程，长轴长是短轴长的2倍求得a和b的关系，进而把点M代入椭圆方程求得a和b的另一个关系式，然后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可表示出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，问题转化为证明k1+k2=0．设出点A，B的坐标，进而表示出两斜率，根据（2）中的方程式，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而代入到k1+k2，化简整理求得结果为0，原式得证．
【解析】
（1）设椭圆方程为
则，解得
∴椭圆方程
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又
∴l的方程为：
由，∴x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
由x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4
而=
=
=
=
∴k1+k2=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．