Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D、E分别是AA₁、B₁C的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线A₁C₁与B₁D所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-B₁D-B的大小．

Answer

（Ⅰ）设G为BC的中点，连接EG，AG，因BG=GC，B1E=EC，则EG∥BB1，且，又AD∥BB1，且，则EG∥AD，EG=AD，从而得到四边形ADEG为平行四边形，则DE∥AG，又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，根据线面平行的判定定理可知DE∥平面ABC．
（Ⅱ）设F为BB1的中点，连接AF，CF，根据直三棱柱ABC-A1B1C1，且D是AA1的中点，则AF∥B1D，A1C1∥AC，从而∠CAF为异面直线A1C1与B1D所成的角或其补角．在Rt△ABF中，求出AF、CF，在△ABC中，求出AC，在△ACF中，即可求出∠CAF；
（Ⅲ）根据直三棱柱ABC-A1B1C1，则B1B⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BB1=B，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面ABB1D，连接BD，在△BB1D中BD2+B1D2=BB12，根据勾股定理可知BD⊥B1D，根据BD是CD在平面ABB1D内的射影，则CD⊥B1D，从而∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角，在△BCD中求出此角即可．
（Ⅰ）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG，
在△BCB1中，∵BG=GC，B1E=EC，∴EG∥BB1，且，
又AD∥BB1，且，∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．

（Ⅱ）【解析】
如图，设F为BB1的中点，连接AF，CF，
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，且D是AA1的中点，
∴AF∥B1D，A1C1∥AC，∴∠CAF为异面直线A1C1与B1D所成的角或其补角．
在Rt△ABF中，BF⊥AB，AB=1，BF=1，
∴，同理，
在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴，
在△ACF中，∵AC=AF=CF，∴∠CAF=60°．
∴异面直线A1C1与B1D所成的角为60°．

（Ⅲ）【解析】
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1D．
如图，连接BD，
在△BB1D中，∵，
∴BD2+B1D2=BB12，即BD⊥B1D，
∵BD是CD在平面ABB1D内的射影，
∴CD⊥B1D，∴∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
在△BCD中，∠CBD=90°，BC=1，，
∴，∴二面角C-B1D-B的大小为．