Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=AA₁．
（1）设E，F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：AC⊥AB．

Answer

（1）连接AB则交A1B于E，且为A1B中点，又F为BC1的中点EF∥A1C1 A1C1 ∥AC由公理4，可得EF∥AC从而由线面平行的判定定理得到结论．（2）由AB=AA1得到四边形ABAA1是正方形，从而有AB1⊥A1B，再由AB1⊥BC1可知AB1⊥平面A1BC1由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABAA1从而有AC⊥AB．
【解析】
（1）连接AB则交A1B于E，且为A1B中点，又F为BC1的中点
∴EF∥A1C1 A1C1 ∥AC
EF∥AC
∴EF∥平面ABC
（2）∵AB=AA1
∴四边形ABAA1是正方形，
∴AB1⊥A1B
∵AB1⊥BC1
所以AB1⊥平面A1BC1
∴AB1⊥A1C1
∴AB1⊥AC
又BB1⊥AC
∴AC⊥平面ABAA1
∴AC⊥AB