Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆G上一点到F₁和F₂的距离之和为12．圆C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点A_k．
（1）求椭圆G的方程
（2）求△A_kF₁F₂的面积
（3）问是否存在圆C_k包围椭圆G？请说明理由．

Answer

（1）先设椭圆的标准方程，然后由椭圆定义知，椭圆G上一点到F1、F2的距离之和为12，即2a=12，求得a，再根据离心率为，求得c，最后利用椭圆中b2=a2-c2求得b，则椭圆G的方程解决．
（2）先通过圆Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）表示出其圆心Ak的坐标，则其纵坐标2为△AkF1F2的高，而F1F2的长度为焦距2c，所以代入三角形面积公式问题解决．
（3）先对k进行分类，再利用特殊点（即椭圆的左右两个顶点）可判定不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G．
【解析】
（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，
则，解得，
∴b2=a2-c2=36-27=9
所以椭圆G的方程为：．
（2）由圆Ck的方程知，圆心AK的坐标为（-k，2），
∴．
（3）若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k＞0可知点（6，0）在圆Ck外，
若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=15-12k＞0可知点（-6，0）在圆Ck外；
∴不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G．