Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列{a_n}的前3项；
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令，求．

Answer

（1）利用已知an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，分别令n=1，，，3．即可得解．
（2）法1：猜想再利用数学归纳法进行证明．
      法2：an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，推出Sn并由此得出Sn+1，进而得an的递推关系，从而推得数列{an}的通项公式．
（3）利用构造法求得bn，并利用裂项相消法求和，进而得解．
【解析】
（1）由题意，当n=1时有，S1=a1，
∴，
解得a1=2．
当n=2时有，S2=a1+a2，a1=2代入，整理得
（a2-2）2=16．
由a2＞0，解得a2=6．
当n=3时有，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得
（a3-2）2=64．
由a3＞0，解得a3=10．
故该数列的前3项为2，6，10．

（2）解法一：由（1）猜想数列{an}有通项公式an=4n-2．
下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是
an=4n-2（n∈N）．
①当n=1时，因为4×1-2=2，又在（1）中已求出a1=2，所以上述结论成立．
②假设n=k时结论成立，即有ak=4k-2．由题意，有，
将ak=4k-2代入上式，得2k=，解得Sk=2k2．
由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，
将Sk=2k2代入，得=2（ak+1+2k2），整理得ak+12-4ak+1+4-16k2=0．
由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k．所以ak+1=2+4k=4（k+1）-2．
这就是说，当n=k+1时，上述结论成立．
根据①、②，上述结论对所有的自然数n成立．
解法二：由题意，有，整理得Sn=（an+2）2，
由此得Sn+1=（an+1+2）2，
∴an+1=Sn+1-Sn=[（an+1+2）2-（an+2）2]，
整理得（an+1+an）（an+1-an-4）=0，
由题意知an+1+an≠0，∴an+1-an=4．
即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4．∴an=a1+（n-1）d=2+4（n-1），
即通项公式为an=4n-2．

（3）【解析】
令cn=bn-1，则==，
b1+b2++bn-n=c1+c2++cn
==．
∴