Question

若函数f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x₁，x₂，当x₁，x₂∈[-2，2]时，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k为常数，k∈R）成立，如果满足条件的最小正整数k等于4，则实数t的取值范围是    ．

Answer

f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|（ k为常数，k∈R）成立，变为|-t（x1+x2）+2|≤k当x1，x2∈[-2，2]时，恒成立，如果满足条件的最小正整数k等于4得到|-t（x1+x2）+2|≤4，当x1，x2∈[-2，2]时，恒成立，求出t的范围即可．
【解析】
根由题意f（x）=-tx2+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|（ k为常数，k∈R）成立，
∴|-t（x1+x2）+2|≤k当x1，x2∈[-2，2]时，恒成立，
∵x1，x2∈[-2，2]，任意两个不同的x1，x2，t＜0
∴-t（x1+x2）+2∈（4t+2，-4t+2）
∴|-t（x1+x2）+2|∈[0，-4t+2）
∴-4t+2＜k
∵满足条件的最小正整数k等于4，
∴-4t+2＜4
∴t＞-，
∵t＜0，t为常数
∴-＜t＜0
故答案为（-，0）