Question

设{a_n}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：）
（Ⅰ）记S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，已知（n∈N^*），试求此等差数列的首项a₁及公差d；
（Ⅱ）若{a_n}的首项a₁及公差d都是正整数，问在数列{a_n}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′_m}？若存在，请写出{a′_m}的构造过程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）因为{an}是各项均为正数的无穷项等差数列，所以前n项和为，an=a1+（n-1）d，求出an2得到Tn上网通项公式，由列出不等式组（1）和（2），求出解集讨论得到d，将d代入（1）和（2）得到（3）和（4）求出解集讨论得到a1即可；
（Ⅱ）先构造，因为{an}为a1，a1+d，a1+2d，…，取a1′=a1，a2′=a1+da1′=（1+d）a1，a3′=a1′+d（a1′+a2′）=a1′+da1+da2′=a2′+da2′=（1+d）a2′所以am′=a1′+d（a1′+a2′+…+am-1′）=am-1′+dam-1′=（1+d）am-1′=（1+d）m-1a1，故数列{an}是以a1为首项，1+d（大于1）为公比的非常数等比数列，证明存在am′=a1+dk，从而am′是a1，a1+d，a1+2d，…，中的项．
【解析】
（Ⅰ）依题意：，an=a1+（n-1）d，所以an2=a12+2a1（n-1）d+（n-1）2d2，，
则
即，
所以
因为数列为无穷项，所以d≥0，所以d=2，
代入（1）（2）得
当n=1代入（3），得2-a1-1≥0，所以a1≤1，
由（4），当a1＜1时，对充分大的n，（4）不成立，所以，a1=1
经检验，a1=1，d=2满足题意；
（Ⅱ）{an}为a1，a1+d，a1+2d，…，
取a1′=a1，a2′=a1+da1′=（1+d）a1，a3′=a1′+d（a1′+a2′）=a1′+da1+da2′=a2′+da2′=（1+d）a2′
am′=a1′+d（a1′+a2′+…+am-1′）=am-1′+dam-1′=（1+d）am-1′=（1+d）m-1a1
故数列{an}是以a1为首项，1+d（大于1）为公比的非常数等比数列；
又由{an}的取法可知，a1′+a2′+…+am-1′是正整数之和，记做k．
所以，am′=a1+dk，从而am′是a1，a1+d，a1+2d，…，中的项，
所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在{an}中．