Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=kn²+n，n∈N*，其中k是常数．
（I）求a₁及a_n；
（II）若对于任意的m∈N*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，求k的值．

Answer

（1）先通过求a1=S1求得a1，进而根据当n＞1时an=Sn-Sn-1求出an，再验证求a1也符合此时的an，进而得出an
（2）根据am，a2m，a4m成等比数列，可知a2m2=ama4m，根据（1）数列{an}的通项公式，代入化简即可．
解析：（1）当n=1，a1=S1=k+1，
n≥2，an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k（n-1）2+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
经检验，n=1（*）式成立，
∴an=2kn-k+1．
（2）∵am，a2m，a4m成等比数列，
∴a2m2=ama4m，
即（4km-k+1）2=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，对任意的m∈N*成立，
∴k=0或k=1．