Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=k（x-1），函数f（x）-g（x）其中一个零点为5，数列{a_n}满足，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求S{a_n}的最小值（用含有n的代数式表示）；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

Answer

首先确定k的值，利用（an+1-an）g（an）+f（an）=0．推出4an+1=3an+1
（1）构造数列{an-1}，然后求出数列{an}通项公式；或者构造数列{an-an-1}，再解出an-an-1，然后再求出数列{an}通项公式；
（2）通过数列an，求出前n项和；然后求S{an}的最小值（用含有n的代数式表示）；
（3）表示出bn=3f（an）-g（an+1），化简为n的函数，利用换元法，确定其最值，求出最大值及最小值．
【解析】
（1）函数f（x）-g（x）有一个零点为5，即方程（x-1）2-k（x-1）=0，有一个根为5，
将x=5代入方程得16-4k=0，
∴k=4，
∴a1=2（2分）
由（an+1-an）g（an）+f（an）=0得4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0（an-1）（4an+1-4an+an-1）=0
∴an-1=0或4an+1-4an+an-1=0
由（1）知a1=2，
∴an-1=0不合舍去
由4an+1-4an+an-1=0得4an+1=3an+1（4分）
方法1：由4an+1=3an+1得
∴数列{an-1}是首项为a1-1=1，公比为的等比数列
∴，
∴
〔方法2：由4an+1=3an+1①得当n≥2时4an=3an-1+1②
①-②得4（an+1-an）=3（an-an-1）
∴（n≥2）即数列{an-an-1}是首项为a2-a1，公比为的等比数列
∵，∴③
由①得代入③整理得（6分）
（2）由（1）知
∴
=（8分）
∵对∀n∈N*，有，
∴
∴，即
即所求S{an}的最小值为1+n．（10分）
（3）由bn=3f（an）-g（an+1）得bn=3（an-1）2-4（an+1-1）
∴=（12分）
令，则0＜u≤1，bn=3（u2-u）=
∵函数在上为增函数，在上为减函数（14分）
当n=1时u=1，
当n=2时，
当n=3时，，
当n=4时，
∵，且（16分）
∴当n=3时，bn有最小值，即数列{bn}有最小项，最小项为
故当n=1即u=1时，bn有最大值，即数列{bn}有最大项，
最大项为b1=3（1-1）=0．（18分）