Question

下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．
（I）写出a₄₅的值；
（II）写出a_ij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．

Answer

（I）由等差数列先求出第一列第四项，再由等差数列求第四行第五项；
（II）由（I）寻求规律，第一列的第i项，作为第i行的首项，公差为2i+1，进而由等差数列的通项公式求得aij．
【解析】
（I）第一列第四个数：4+3×（4-1）=13，第四行第五个数是13+9×（5-1）=49，即a45=49
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j-1）第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j-1）
第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，
因此aij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1）
=2ij+i+j
要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=2008所以
当i=1时，得j=669
所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．