Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线-y²=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足=+，求k的值．

Answer

（1）根据双曲线的标准方程，可得其离心率，进而根据题设可求得椭圆的离心率．再根据椭圆的顶点A的坐标，进而可求得b和a，椭圆的方程可得．
（2）先设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），直线和椭圆相交，联立方程可得含有k的一元二次方程，再根据韦达定理可知x1+x2和x1•x2，再根据=+，用点A，B表示点M，代入椭圆的标准方程可得k．
【解析】
（1）∵双曲线-y2=1的离心率为，
∴椭圆的离心率为．
又∵b=1，∴a=2．
∴椭圆的方程为+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．
由得（1+4k2）x2+8kx=0，
∴x1+x2=-，x1•x2=0．
∵=+，
∴m=（x1+x2），n=（y1+y2），
∵点M在椭圆上，∴m2+4n2=4，
∴（x1+x2）2+（y1+y2）2
=[（x12+4y12）+3（x22+4y22）+2x1x2+8y1y2]
=[4+12+8y1y2]=4．
∴y1y2=0，
∴（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=k•（-）+1=0，
即k2=，∴k=±．
此时△=（8k）2-4（1+4k2）×0=64k2=16＞0
∴k的值为±．